Problemas Inversos

Os problemas inversos formam um conjunto de problemas matemáticos onde se objetiva determinar a causa de um fenômeno particular (solução do problema), observando-se o efeito por ele produzido (dados). Esse tipo de procedimento envolve uma quantidade enorme de modelos matemáticos que representam problemas reais nas mais diversas áreas como medicina, astronomia, meteorologia, engenharias, diversos problemas físicos de identificação de parâmetros e de reconstrução de imagens, entre muitos outros. O grande desafio na resolução de tais problemas encontra-se no fato de que estes são frequentemente mal-postos no sentido de Hadamard.

O matemático francês Jacques Hadamard (1865-1963) definiu que um problema bem-posto é aquele onde:

  1. Uma solução para o problema existe;
  2. Existe no máximo uma solução;
  3. A solução depende continuamente dos dados observados.

Diz-se então que se tem um problema mal-posto quando ele não for bem-posto.

A terceira propriedade da definição de Hadamard implica que uma solução de um problema bem-posto, associada a dados observados e corrompidos com baixos níveis de ruídos, não pode estar distante da solução procurada. Hadamard acreditava, assim como muitos matemáticos contemporâneos seus, que um modelo matemático só poderia representar corretamente um fenômeno natural se o problema inverso a ele associado fosse bem-posto (natura non facit saltum). Não fosse esse o caso, o modelo matemático que representava o problema era considerado incorreto e chamado de mal-posto. Essa foi a ideia predominante no meio matemático até o início do último século, quando finalmente percebeu-se que um grande número de problemas reais são mal-postos quando traduzidos num modelo matemático aceitável. Essa conclusão iniciou na segunda metade do último século, uma enorme quantidade de pesquisas para o desenvolvimento de métodos capazes de encontrar soluções estáveis para problemas mal-postos. Nasceu aí a chamada teoria da regularização.

Alguns exemplos de problemas inversos com relevância prática são os seguintes tipos de tomografias:

Tomografia Computadorizada

Tomografia por Ultrassom

Tomografia por Impedância Elétrica