Teoria da Regularização

Matematicamente, resolver um problema inverso significa encontrar uma solução aproximada para a equação

F(x) = y,

onde F opera entre espaços vetoriais apropriados (comumente espaços de Hilbert ou Banach). O operador F é normalmente conhecido e representa a modelagem do problema inverso em si. Em situações reais, o vetor de dados y é obtido através de medições e portanto não se pode esperar que este seja conhecido exatamente. Na prática, somente uma aproximação yδ para y satisfazendo uma inequação do tipo

||y – yδ|| ≤ δ

está disponível. Frequentemente o nível de ruídos δ>0 é conhecido.

Um Método de Regularização é uma algoritmo capaz de resolver o problema inverso de maneira estável. Isso significa que, para cada aproximação yδ satisfazendo a inequação acima, um método de regularização deve sempre encontrar uma aproximação xδ para a solução do problema inversos F(x) = y de modo que, uma sequência de aproximações obtida com diferentes níveis de ruídos converge à solução exata x quando o nível de ruídos vai à zero. Isto é,

xδ → x,    quando   δ → 0.

Exemplo: Suponha que uma haste fina de comprimento igual a 1 u.m. tenha as suas duas extremidades fixadas em recipientes com gelo fundente, de modo que estas permaneçam em temperatura constante igual a zero. Se uma fonte de calor constante no tempo, representada pela função f, aquece a haste, então após um tempo suficientemente grande, a distribuição de temperatura u na haste pode ser descrita pela equação diferencial:

(a(x)u‘(x))’ = f(x), em (0,1)    e    u(0) = u(1) = 0,

onde a função a representa a condutividade térmica da haste.

Do ponto de vista matemático, se as funções a e f pertencem a espaços vetoriais apropriados, pode-se então garantir que existe uma única função u (também pertencente a um espaço apropriado) satisfazendo a equação diferencial acima. Portanto, se a função f estiver fixada, pode-se definir o operador

F(a) = u,

que a cada distribuição de condutividade térmica a, associa a distribuição de temperatura u correspondente. O problema inverso associado a essa equação consiste em reconstruir a condutividade térmica a da haste, através da medição aproximada da temperatura u.

A figura abaixo apresenta as reconstruções aδ (em azul) que aproximam a solução a (em vermelho) do problema inverso em questão, onde a fonte de calor f está fixada. Os resultados foram obtidos usando-se um método de regularização chamado de REGINN (REGularization based on INexact Newton iteration) com diferentes níveis de ruídos δ.

Ruídos: 5,500%

Ruídos: 0,550%

Ruídos: 0,055%

Observe que aδ se aproxima da solução a quando δ diminui.

Para conhecer melhor o funcionamento desse e de alguns outros métodos de regularização, clique aqui.