Prof. Fábio Margotti

Tomografia por Impedância Elétrica

A Tomografia por Impedância Elétrica (Electrical Impedance Tomography - EIT, na abreviação em inglês) é um procedimento utilizado para reconstruir a condutividade elétrica (ou a permissividade elétrica, ou ambas) no interior de um objeto a partir de experimentos realizados na sua superfície.
O procedimento mais comum consiste em fixar eletrodos na superfície do objeto em estudo e então aplicar correntes elétricas nesses eletrodos e posteriormente medir a diferença de potencial resultante entre cada um desses eletrodos em relação a um referencial (terra). Esse experimento é repetido diversas vezes com diferentes configurações de correntes elétricas, e utilizando-se as medições correspondentes, tenta-se determinar a condutividade elétrica no interior do objeto.

Existem diversos modelos matemáticos que descrevem os fenômenos físicos envolvidos nesse experimento, entre eles destacam-se os chamados Shunt Model e o Modelo Completo de Eletrodos [Somersalo, et. al 1992]. Veja aqui, a descrição do funcionamento de um protótipo desenvolvido usando o Modelo Completo de Eletrodos.

Abaixo descrevemos o chamado Modelo Contínuo, que consiste no primeiro modelo matemático desenvolvido para representar o EIT, introduzido originalmente por Alberto Calderón em seu trabalho pioneiro [Calderón, 1980]. Vamos apresentar apenas as ideias intuitivas. Para um desenvolvimento mais formal se faz necessário a aplicação das chamadas equações de Maxwell.

Suponha que tenhamos um objeto (por simplificação, em duas dimensões) representado por um conjunto aberto Ω⊂ℝ² com fronteira suave. A condutividade elétrica é representada por uma função σ:Ω→ℝ. Ao aplicar-se uma corrente elétrica g:∂Ω→ℝ na fronteira do conjunto (ou seja, na superfície do objeto), um potencial elétrico u:Ω→ℝ é gerado. Esse fenômeno é modelado pela equação diferencial

$$- \nabla \cdot (\sigma \nabla u) = 0 ,\ \ \ \ em \ \ \ \ \Omega,$$

juntamente com a condição de contorno do tipo Neumann

$$-\sigma \frac{\partial u}{\partial \eta} = g, \ \ \ \ em \ \ \ \ \partial\Omega,$$

onde (∂u)/(∂η) representa a derivada direcional do potencial u na direção do vetor normal unitário η, saindo de Ω. A voltagem resultante é a função f:∂Ω→ℝ dada pela restrição do potencial u à fronteira de Ω, isto é, f = u⌉_∂Ω.

A figura abaixo apresenta um exemplo onde Ω é o conjunto (0,1)×(0,1). A condutividade σ, apresentada na figura à esquerda da primeira linha, assume apenas dois valores: 2 em um círculo contido em Ω e 1 no restante do conjunto. À direita de σ está a corrente elétrica g, representada por um período da função cosseno em uma das faces do quadrado que forma Ω e zero nas demais faces. Na segunda linha à esquerda, temos o potencial u, solução da equação diferencial dada acima para as funções σ e g exibidas na primeira linha da figura. Por fim, temos na imagem exibida na segunda linha à direita, a função f que representa a voltagem (isto é, f = u⌉_∂Ω).


Condutividade σ	Corrente elétrica g

Potencial resultante u	Voltagem resultante f

Fixada agora a condutividade σ, definimos a função Λ_σ, que associa a corrente elétrica g à voltagem correspondente f (isto é, Λ_σ(g) = f), a qual chamamos de operador de Neumann para Dirichlet (NpD). Definimos agora o operador direto do problema da Tomografia por Impedância como sendo a função que associa cada condutividade σ ao operador NpD correspondente, ou seja,

$$F(\sigma) = \Lambda_\sigma.$$

O problema inverso do EIT (o qual estamos interessados), consiste em reconstruir a condutividade σ através do conhecimento parcial de Λ_σ. Em outras palavras, conhecendo alguns pares de funções g e f tais que Λ_σ(g) = f (como aquele par dado na segunda coluna da figura acima), tenta-se determinar a condutividade elétrica σ em todo conjunto Ω.

Exemplo: a figura abaixo exibe as reconstruções de diferentes condutividades σ, obtidas utilizando-se 12 pares de funções (g,f) satisfazendo Λ_σ(g) = f. Os pares em questão foram gerados sinteticamente utilizando-se o algoritmo para EIT apresentado em [Margotti, Inverse Problems, 2016]. A fim de se ter uma simulação mais realista, ruídos foram introduzidos artificialmente nos dados num nível igual a 0.1%. A reconstrução da condutividade foi obtida utilizando o método de regularização misto introduzido no artigo acima citado.